4.7 Differentialgleichung für den Druckverlauf
In die Gleichungen (27) und (28) für die mittleren Strömungsgeschwindigkeiten wird die Gleichung (15) für die Viskosität ηg des Gemischs eingesetzt
, wodurch die variable Viskosität ηg eliminiert wird.
Die Gleichungen (31) und (32) für die mittleren Strömungsgeschwindigkeiten um, wm und die Gleichung (14) für den Füllungsgrad F werden in die Kontinuitätsgleichung (30) eingesetzt.
Anschließend werden die Differentationen ausgeführt und die Gleichung mit 12·η/h³ multipliziert. So erhält man
die Differentialgleichung für den Druckverlauf im Schmierspalt, welcher mit einem Flüssigkeits-Gas-Gemisch gefüllt ist.
Diese Gleichung ist noch so allgemein gehalten, daß sie für beliebige instationär belastete Gleitpaarungen mit hydrodynamischer Schmierung z.B. den einfachen Gleitschuh, das Radiallager, das Axiallager oder eine axiale Führung angewendet werden kann.
Ein Vergleich mit der Reynolds‘schen Gleichung (1) zeigt, daß durch die Annahme von Gasblasen im Schmiermittel lediglich die Glieder
als Faktor bzw. als Summand hinzugekommen sind. Ansonsten ist die Gleichung erhalten geblieben.
Sie wird nun in üblicher Weise auf das Radialgleitlager zugeschnitten und dimensionslos gemacht. Abweichend vom üblichen wird aber als Bezugswinkelgeschwindigkeit eine unabhängige, zeitlich konstante Winkelgeschwindigkeit ωb eingeführt, so daß variable Gleitgeschwindigkeiten z.B. beim pendelnden Gleitgelenk problemlos berücksichtigt werden können. Damit ergibt sich eine dimensionslose Gleitgeschwindigkeit Ω und eine dimensionslose Zeit T. Die Mischungskonstante c wird wie der Druck p dimensionlos gemacht. Als Bezugsviskosität wird die konstante Viskosität η der blasenfreien Flüssigkeit verwendet.
Es werden folgende dimensionslose Größen eingeführt
Damit ergibt sich die dimensionslose Differentialgleichung für den Druckverlauf im endlich breiten, instationär belasteten Radialgleitlager mit einem Flüssigkeit-Gas-Gemisch
Diese Gleichung gilt für die gesamte Fläche des Schmierspalts. Als Randbedingungen werden nur die Umgebungs- bzw. Ölzuführungsdrücke angegeben.
Für das unendlich breite Lager vereinfacht sich die Gleichung (44) zu
Der Füllungsgrad F in Abhängigkeit vom dimensionslosen Druck P ergibt sich aus Gleichung (14)
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