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7 Numerisches Lösungsverfahren

7.1 Allgemeines

Das Modell 1 mit der Annahme eines Flüssigkeits-Gas-Gemischs führt auf eine nichtlineare, partielle Differentialgleichung (44) zweiter Ordnung mit den unabhängigen Variablen X, Z und T. Bezüglich der Ortsvariablen X und Z handelt es sich um ein Randwertproblem. Bezüglich der Zeitvariablen T um ein Anfangswertproblem. Ein Vorteil des Modells 1 gegenüber Modell 2 für die numerische Lösung ist, daß die Verhältnisse im gesamten Schmierspalt durch eine Gleichung beschrieben werden. Ein Nachteil ist, daß die Gleichung nichtlinear ist und ein Randwert- und Anfangswertproblem zugleich darstellt, wofür es keine fertigen Lösungsverfahren gibt.

Das Modell 2 mit der Annahme idealer Kavitation führt zu der Reynolds‘schen Differentialgleichung (47), welche eine lineare, partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung ist mit den zwei unabhängigen Variablen X und Z. Sie ist ein reines Randwertproblem. Für das Unterdruckgebiet ergibt sich eine lineare, partielle Differentialgleichung (55) erster Ordnung mit den zwei unabhängigen Variablen X und T. Sie ist ein Anfangswertproblem. Ein Vorteil des Modells 2 gegenüber dem Modell 1 ist, daß die Lösbarkeit der einzelnen Gleichungen für sich problemlos ist. Für die Reynolds‘sche Gleichung gibt es bereits mehrfach erprobte Lösungsmethoden. Die Gleichung für das Unterdruckgebiet ist einfach zu behandeln. Für die numerische Lösbarkeit ist das Problem, daß sich die Schmierspaltfläche in verschiedene Gebiete aufteilt, deren Begrenzungen beliebige Formen annehmen können und zeitlich veränderlich sind, und daß an diesen Grenzen noch zwei verschiedene Übergangsbedingungen (Druckberganfang oder Druckbergende) gelten, was für den allgemeinen Fall schwer zu formulieren ist.

Aus der Sicht der numerischen Lösbarkeit ist das Modell 1 günstiger, sofern man ein geeignetes Lösungsverfahren für die nichtlineare Differentialgleichung findet. Da dies gelungen ist, wurden die Programme LAGER8 und ENDLAG1 für die Berechnung des Druckverlaufs nach der erweiterten Theorie der Schmiermittelströmung auf der Basis des Modells 1 angefertigt. Dadurch wird das Modell 2 jedoch nicht zur nutzlosen theoretischen Beigabe degradiert. Es führt gemeinsam mit Modell 1 zu qualitativen Erkenntnissen und wurde für Sonderfälle zu Vergleichsrechnungen herangezogen (Abschnitt 9).

Zu Vergleichszwecken wurden außerdem die Programme LAGER9 und ENDLAG2 aufgestellt, die zur Berechnung des Druckverlaufs die Reynolds'sche Differentialgleichung (48) bzw. (47) verwenden. Dabei wurde der Druckverlauf über die gesamte Spaltfläche einschließlich negativer Drücke berechnet. Anschließend wurden die negativen Werte Null gesetzt (3. Randbedingung).

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