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5.3 Testrechnung mit dem Demonstrationsbeispiel

Dem bereits dargestellten Demonstrationsbeispiel wurde zunächst irgend eine nicht optimale Beschäftigungsmatrix ac vorgegeben. Wir können jetzt die zugehörige optimale Matrix angeben und zur Bewertung des Ergebnisses die weiteren sekundären Parameter errechnen.

Bei den nachfolgend angegebenen Werten werden alle zu der optimalen Lösung gehörende Werte mit dem Index "optimal" gekennzeichnet, um sie von den anderen Werten des Demonstrationsbeispiels mit der bereits oben angegebenen nicht optimalen Beschäftigungsmatrix zu unterscheiden, die zum Vergleich noch einmal angegeben werden.

Die optimale Beschäftigungsmatrix acoptimal hat die Werte

Zur Erinnerung noch einmal die Interpretation der Beschäftigungsmatrix: Die erste Zeile von acoptimal bedeutet, daß alle 10 Arbeiter der ersten Leistungsgruppe im vierten Beruf beschäftigt sind.

Die normierten Produktivitäten pn, die mittleren Produktivitäten pmoptimal und die Produktivitätssteigerungsfaktoren fpoptimal haben die Werte

pn            = [ 2,45  2,00  1,65  2,30 ]   º   pn   = [ 2,45  2,00  1,65  2,30 ]
pmoptimal = [ 8,00  5,61  1,90  4,35 ]        pm = [ 2,45  2,00  1,65  2,30 ]
fpoptimal   = [ 3,26  2,81  1,15  1,89 ]        fp   = [ 1,00  1,00  1,00  1,00 ]

Wie zu erkennen ist, hat die Optimierung in unserem Beispiel in den einzelnen Berufen teilweise erhebliche Produktivitätssteigerungen gebracht. Am geringsten fällt sie dort aus, wo wegen des hohen Bedarfs an Arbeitskräften keine so starke Selektion erfolgen kann, wie im Beruf i3=3 zu erkennen ist.

Die gesamtgesellschaftlichen Arbeitsleistungen dopt, die darin enthaltenen bedarfsgerechten Anteile dboptimal und die Faktoren fboptimal der Bedarfsgerechtigkeit haben die Werte

doptimal   = [ 64,44  64,44  96,67  128,89 ]     d    = [ 61,25  50,00  41,25  57,50 ]
dboptimal = [ 64,44  64,44  96,67  128,89 ]     db = [ 27,50  27,50  41,25  55,00 ]
fboptimal  = [   1,00     1,00     1,00     1,00 ]     fb  = [    0,45    0,55    1,00    0,96 ]

Erwartungsgemäß sind bei der optimalen Lösung doptimal=dboptimal , d.h. in allen Berufen sind alle Arbeiter an der gesamtgesellschaftlichen bedarfsgerechten Arbeitsleistung beteiligt. Das ist eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung dafür, das tatsächlich das Optimum erreicht wurde.

Zum Schluß sollen noch die beiden komplexen Bewertungsparameter angegeben werde. Das sind der Faktor fbg der Bedarfsgerechtigkeit der gesamtgesellschaftlichen Arbeitsleistung und der Faktor fg der gesamtgesellschaftlichen Leistungssteigerung

fbgoptimal = 1,00           fbg = 0,74
fgoptimal   = 1,73           fg   = 0,74

Der Faktor fbgoptimal ist erwartungsgemäß Eins, da bereits alle fboptimal die Werte Eins hatten.

Der wichtigste Bewertungsfaktor fgoptimal sagt uns, daß durch die optimale Beschäftigungsmatrix acoptimal, also durch eine optimale Beschäftigungspolitik, gegenüber unserer willkürlichen anfänglichen Beschäftigungsmatrix ac mit fg=0,74 eine gesamtgesellschaftliche Leistungssteigerung von

dboptimal /db = fgoptimal /fg=1,73/0,74=2,33

möglich ist. Diese Leistungssteigerung beruht nur auf optimalem Einsatz der Arbeitskräfte, in dem jeder das macht, was er relativ zu den anderen am besten kann, unter Berücksichtigung des gesamtgesellschaftlichen Bedarfs. Dabei muß sich keiner mehr anstrengen als normal üblich, denn eine normale Anstrengung aller Arbeiter in jedem Beruf wurde bei der Aufstellung der Matrix p der individuellen Produktivitäten angenommen.

Daß diese Lösung auch wirklich das Optimum darstellt, ist aus der Ansicht der Ergebnisse nicht direkt zu erkennen. Daß es sich um das Optimum handelt, garantiert uns nur das Lösungsverfahren, der Simplexalgorithmus. Denkbar ist lediglich unter besonderen Umständen, das es evtl. noch einige andere Beschäftigungsmatrizen gibt, die zu der gleichen Leistungssteigerung führen.

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