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3 Mathematische Beschreibung einer Beschäftigungsstruktur

Primäre Parameter:

Eigentlich hat jeder Arbeiter sein eigenes Produktivitätsprofil. Durch die Einführung der Produktivitätsgruppen haben wir keine wesentliche Einschränkung des allgemeinen Falls gemacht, denn wenn wir alle Produktivitätsgruppengrößen gleich eins setzen, ist wieder für jeden Arbeiter ein eigenes Produktivitätsprofil angegeben.

Nun soll noch ein Vektor als Prüfkriterium der Bedarfsgerechtigkeit der Beschäftigungsstruktur eingeführt werden.

Bei einem eventuellen Wachstum der Wirtschaft wird vereinfachend davon ausgegangen, daß sich die Proportionen des Bedarfs an berufsspezifischen Leistungen kurzfristig nicht ändern. Das bedeutet, daß auch jedes Vielfache dieses Vektors eine bedarfsgerechte Leistungsstruktur ergibt.

Damit sind alle primären Parameter zur Beschreibung einer Beschäftigungsstruktur eingeführt.

Sekundäre Parameter:

Alle nachfolgend einzuführenden sekundären Parameter lassen sich aus den primären ableiten. Sie dienen dazu, die späteren Ergebnisse einer Optimierung leichter bewerten zu können.

Die normierte Produktivität pnj3 wird für jeden Beruf j3 definiert durch

Man kann diesen Wert interpretieren als die mittlere Produktivität aller Arbeiter, auch der, die nicht in diesem Beruf arbeiten. Diese Werte würden sich auch als mittlere Produktivität aller in dem Beruf beschäftigten Arbeiter ergeben, wenn die Anzahl der Arbeiter sehr groß ist, und die Verteilung der Arbeiter auf die jeweiligen Berufe vollständig dem Zufall überlassen würde und ihre jeweiligen Fähigkeiten in keiner Weise berücksichtigt werden. Damit ist pnj3 also auch die beschäftigungsunabhängige mittlere Produktivität der Arbeiter der gesamten Gesellschaft. Diese kann als zeitlich konstanter Wert angesehen werden und soll als Basiswert dienen, um darzustellen, wie durch eine Optimierung der Beschäftigungsmatrix die tatsächliche Produktivität gesteigert werden kann.

Die m3 Parameter pnj3 werden zusammengefaßt zu einem Vektor pn, der das normierte beschäftigungsunabhängige Produktivitätsprofil der Gesellschaft darstellt.

Anhand der Beschäftigungsmatrix ac und der Produktivitätsmatrix p kann für jeden Beruf j3 berechnet werden, welche Arbeitsleitung dj3 in diesem Beruf z.Z. geleistet wird.

Der Vektor d, bestehend aus den m3 Komponente dj3, ergibt die Struktur der Arbeitsleistungen, die gesamtgesellschaftlich z.Z. geleistet werden, bedingt durch die aktuelle Beschäftigungsmatrix ac.

Die aktuellen Anzahlen aej3 der Arbeiter, die im jeweiligen Beruf j3 beschäftigt sind, berechnen sich aus der Beschäftigungsmatrix ac durch

Sie werden im Vektor ae zusammengefaßt.

Die mittlere Produktivität pmj3 wird für jeden Beruf j3 definiert durch

Damit ist pmj3 also die mittlere Produktivität der tatsächlich in diesem Beruf beschäftigten Arbeiter und ist beschäftigungsabhängig. (Vergleiche Aussagewert pm mit Aussagewert pn)

Die m3 Parameter pmj3 werden zusammengefaßt zu einem Vektor pm, der das mittlere beschäftigungsabhängige Produktivitätsprofil der Gesellschaft darstellt. Mit diesem Vektor ist im Marxschen Sinne die "gesellschaftlich notwendige Arbeitszeit" für ein Produkt gegeben.

Das Verhältnis zwischen der mittleren beschäftigungsabhängigen Produktivität pmj3 und der normierten (mittleren beschäftigungsunabhängigen) Produktivität pnj3 ergibt den Faktor fpj3 der Produktivitätssteigerung im jeweiligen Beruf j3.

(8) fpj3 def= pmj3 /pnj3

Da nicht in jedem Beruf Arbeiter aller Produktivitätsgruppen arbeiten müssen, kann durch geschickte Beschäftigungspolitik dafür gesorgt werden, daß in jedem Beruf möglichst die jeweils produktivsten arbeiten. Die Faktoren fpj3 geben Auskunft, in wieweit nur durch die Beschäftigungspolitik gesamtgesellschaftliche Produktivitätssteigerungen realisiert wurden, und stellen damit Qualitätskriterien der Beschäftigungspolitik dar.

Der Vektor db0 ist zunächst willkürlich angegeben in bezug auf das Niveau seiner Komponenten insgesamt, da für die Beschreibung einer bedarfsgerechten Leistungsstruktur zunächst nur die Relationen der Komponenten zueinander von Bedeutung sind. Dieser Vektor soll normiert werden, indem ein Vektor dbn für eine normierte bedarfsgerechte Leistungsstruktur eingeführt wird.

Da der Wert im Nenner dieser Formel bezogen auf den Index j3 konstant ist, ist offensichtlich, daß der Vektor dbn ein Vielfaches (bzw. einen Bruchteil) des Vektors db0 darstellt und demzufolge auch eine bedarfsgerechte Leistungsstruktur ist. Außerdem entspricht der Vektor dbn der Leistungsstruktur einer Gesellschaft, die bedarfsgerecht produziert, die nur aus einem "normalen" Arbeiter besteht, dessen individuelles Produktivitätsprofil pn ist.

Der Vektor d der aktuellen gesamtgesellschaftlichen Leistungsstruktur, welche bedingt ist durch die Beschäftigungsmatrix ac, muß nicht bedarfsgerecht sein. Der größte in ihm enthaltene Vektor, der eine bedarfsgerechte Leistungsstruktur darstellt, wird mit db bezeichnet. db ist dann der größte Vektor einer bedarfsgerechten Leistungsstruktur, der im Vektor d enthalten ist, wenn für alle dbj3 mit j3= 1 bis n3 gilt:

(10) dbj3 = fg* a* dbnj3

wobei alle dbj3 £ dj3 und für mindestens ein j3 gilt dbj3 = dj3 .

Damit wurde auch gleich der Faktor fg eingeführt. Er stellt den Faktor der gesamtgesellschaftlichen Leistungssteigerung dar, bedingt durch die Beschäftigungsmatrix ac. Er ist der wichtigste Parameter für die Bewertung der Güte der Beschäftigungsmatrix und wird deshalb später auch als Zielfunktion einer Optimierungsrechnung herangezogen.

Zur Bewertung der Bedarfsgerechtigkeit der Arbeitsleistungen können die Faktoren fbj3 definiert werden durch

(11)fbj3 def= dbj3 / dj3

Sie geben demnach für jeden Beruf an, wie groß der bedarfsgerechte Anteil der Arbeit an der im jeweiligen Beruf insgesamt geleisteten Arbeit ist. Angestrebt wird, daß alle fbj3 den Wert eins annehmen, denn dann wird vollständig bedarfsgerecht gearbeitet.

Aus diesen Faktoren läßt sich der komplexere Faktor fbg angeben, der einen schnellen Überblick über die gesamtgesellschaftliche Bedarfsgerechtigkeit der Arbeitsleistungen gibt.

Wenn fbg=1 ist, dann wird insgesamt bedarfsgerecht gearbeitet. Der Faktor gibt an, welcher Anteil der Arbeiter an der gesamtgesellschaftlich bedarfsgerechten Arbeitsleistungsstruktur db beteiligt ist innerhalb der evtl. nicht bedarfsgerechten Arbeitsleistungsstruktur d.

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