Primäre Parameter:

• Es existieren a Arbeiter.
• Diese sind in m3 verschiedenen Berufen beschäftigt, die mit dem Index j3 durchnumeriert sind.
• Es wird angenommen, daß die Leistung innerhalb eines Berufes meßbar sei. Für jeden Beruf kann es dementsprechend eine besondere Maßeinheit bzw. ein Normal Md_j3 für die Arbeitsleistung geben.
• Ein Arbeiter j1 besitzt für jeden Beruf j3 eine bestimmte individuelle Fähigkeit, bei üblicher Anstrengung eine entsprechende Produktivität P_j1,j3 zu erbringen. Die Gesamtheit aller Produktivitäten P_j1,j3 eines Arbeiters j1 ergeben einen Vektor P_j1, den wir Produktivitätsprofil nennen. Prinzipiell besitzt jeder Arbeiter sein eigenes individuelles Produktivitätsprofil. Zur Reduzierung des mathematischen Aufwands nehmen wir aber an, daß es jeweils mehrere Arbeiter geben kann mit dem gleichen Produktivitätsprofil. Diese Arbeiter sollen zu einer Produktivitätsgruppe zusammengefaßt werden.
• Dementsprechend wird angenommen: Es gibt m2 verschiedene Produktivitätsgruppen, die mit dem Index j2 durchnumeriert sind. Das Produktivitätsprofil der Gruppe j2 ist gegeben durch den Produktivitätsprofilvektor P_j2, der aus den Komponenten P_j2,j3 besteht. Die Vektoren P_j2 der Produktivitätsgruppen können zusammengefaßt werden zu einer Matrix, die wir die Matrix der Produktivitätsprofile oder kurz Produktivitätsmatrix P der Gesellschaft nennen.
• Die Komponenten P_j2,j3 der Produktivitätsmatrix P werden dimensionslos gemacht mit dem entsprechenden Normal _j3 , so daß sich die dimensionslose Produktivitätsmatrix p mit den dimensionslosen Komponenten p_j2,j3 ergibt.

• Zu jeder Produktivitätsgruppe j2 gehören ap_j2 Arbeiter, die das entsprechende Produktivitätsprofil aufweisen. Alle diese Anzahlen können wir zusammenfassen zu einem Vektor ap, der aus den m2 Komponenten ap_j2 besteht und den wir Vektor der Produktivitätsgruppengrößen nennen.

Eigentlich hat jeder Arbeiter sein eigenes Produktivitätsprofil. Durch die Einführung der Produktivitätsgruppen haben wir keine wesentliche Einschränkung des allgemeinen Falls gemacht, denn wenn wir alle Produktivitätsgruppengrößen gleich eins setzen, ist wieder für jeden Arbeiter ein eigenes Produktivitätsprofil angegeben.

• Unter der Annahme der Vollbeschäftigung ist die Summe aller Produktivitätsgruppengrößen gleich der Anzahl a der Arbeiter

• Die Arbeiter einer Produktivitätsgruppe können in verschiedenen Berufen beschäftigt sein. So können z.B. im Beruf j3 aus der Produktivitätsgruppe j2 die Anzahl von ac_j2,j3 Arbeitern beschäftigt sein. Diese Aussage kann zu jeder Produktivitätsgruppe und jedem Beruf gemacht werden. Alle Anzahlen ac_j2,j3 für j2= 1 bis m2 und j3= 1 bis m3 ergeben dann eine Matrix ac mit m2 Zeilen und m3 Spalten, die Beschäftigungsmatrix heißen soll.

• Bei Vollbeschäftigung gilt dann

Nun soll noch ein Vektor als Prüfkriterium der Bedarfsgerechtigkeit der Beschäftigungsstruktur eingeführt werden.

• Nehmen wir an, es ist eine bedarfsgerecht produzierende Volkswirtschaft gegebenen, in der jedes Unternehmen angeben kann, welches Beschäftigungsvolumen es in jedem Beruf benötigt, um seine Produktion zu realisieren. So kann ein Vektor db0 einer bedarfsgerechten Leistungsstruktur angegeben werden, dessen Komponenten db0_j3 für jeden Beruf j3 angeben, welche berufsspezifische Leistung in dem jeweiligen Beruf geleistet werden muß, so daß diese bedarfsgerecht produzierende Wirtschaft auch berufsspezifisch mit bedarfsgerechten Arbeitsleistungen versorgt wird.

Damit sind alle primären Parameter zur Beschreibung einer Beschäftigungsstruktur eingeführt.

Sekundäre Parameter:

Alle nachfolgend einzuführenden sekundären Parameter lassen sich aus den primären ableiten. Sie dienen dazu, die späteren Ergebnisse einer Optimierung leichter bewerten zu können.

Die normierte Produktivität pn_j3 wird für jeden Beruf j3 definiert durch

Man kann diesen Wert interpretieren als die mittlere Produktivität aller Arbeiter, auch der, die nicht in diesem Beruf arbeiten. Diese Werte würden sich auch als mittlere Produktivität aller in dem Beruf beschäftigten Arbeiter ergeben, wenn die Anzahl der Arbeiter sehr groß ist, und die Verteilung der Arbeiter auf die jeweiligen Berufe vollständig dem Zufall überlassen würde und ihre jeweiligen Fähigkeiten in keiner Weise berücksichtigt werden. Damit ist pn_j3 also auch die beschäftigungsunabhängige mittlere Produktivität der Arbeiter der gesamten Gesellschaft. Diese kann als zeitlich konstanter Wert angesehen werden und soll als Basiswert dienen, um darzustellen, wie durch eine Optimierung der Beschäftigungsmatrix die tatsächliche Produktivität gesteigert werden kann.

Die m3 Parameter pn_j3 werden zusammengefaßt zu einem Vektor pn, der das normierte beschäftigungsunabhängige Produktivitätsprofil der Gesellschaft darstellt.

Anhand der Beschäftigungsmatrix ac und der Produktivitätsmatrix p kann für jeden Beruf j3 berechnet werden, welche Arbeitsleitung d_j3 in diesem Beruf z.Z. geleistet wird.

Der Vektor d, bestehend aus den m3 Komponente d_j3, ergibt die Struktur der Arbeitsleistungen, die gesamtgesellschaftlich z.Z. geleistet werden, bedingt durch die aktuelle Beschäftigungsmatrix ac.

Die aktuellen Anzahlen ae_j3 der Arbeiter, die im jeweiligen Beruf j3 beschäftigt sind, berechnen sich aus der Beschäftigungsmatrix ac durch

Sie werden im Vektor ae zusammengefaßt.

Die mittlere Produktivität pm_j3 wird für jeden Beruf j3 definiert durch

Damit ist pm_j3 also die mittlere Produktivität der tatsächlich in diesem Beruf beschäftigten Arbeiter und ist beschäftigungsabhängig. (Vergleiche Aussagewert pm mit Aussagewert pn)

Die m3 Parameter pm_j3 werden zusammengefaßt zu einem Vektor pm, der das mittlere beschäftigungsabhängige Produktivitätsprofil der Gesellschaft darstellt. Mit diesem Vektor ist im Marxschen Sinne die "gesellschaftlich notwendige Arbeitszeit" für ein Produkt gegeben.

Das Verhältnis zwischen der mittleren beschäftigungsabhängigen Produktivität pm_j3 und der normierten (mittleren beschäftigungsunabhängigen) Produktivität pn_j3 ergibt den Faktor fp_j3 der Produktivitätssteigerung im jeweiligen Beruf j3.

(8)   fp_{j3 def}= pm_j3 /pn_j3

Da nicht in jedem Beruf Arbeiter aller Produktivitätsgruppen arbeiten müssen, kann durch geschickte Beschäftigungspolitik dafür gesorgt werden, daß in jedem Beruf möglichst die jeweils produktivsten arbeiten. Die Faktoren fp_j3 geben Auskunft, in wieweit nur durch die Beschäftigungspolitik gesamtgesellschaftliche Produktivitätssteigerungen realisiert wurden, und stellen damit Qualitätskriterien der Beschäftigungspolitik dar.

Der Vektor db0 ist zunächst willkürlich angegeben in bezug auf das Niveau seiner Komponenten insgesamt, da für die Beschreibung einer bedarfsgerechten Leistungsstruktur zunächst nur die Relationen der Komponenten zueinander von Bedeutung sind. Dieser Vektor soll normiert werden, indem ein Vektor dbn für eine normierte bedarfsgerechte Leistungsstruktur eingeführt wird.

Da der Wert im Nenner dieser Formel bezogen auf den Index j3 konstant ist, ist offensichtlich, daß der Vektor dbn ein Vielfaches (bzw. einen Bruchteil) des Vektors db0 darstellt und demzufolge auch eine bedarfsgerechte Leistungsstruktur ist. Außerdem entspricht der Vektor dbn der Leistungsstruktur einer Gesellschaft, die bedarfsgerecht produziert, die nur aus einem "normalen" Arbeiter besteht, dessen individuelles Produktivitätsprofil pn ist.

Der Vektor d der aktuellen gesamtgesellschaftlichen Leistungsstruktur, welche bedingt ist durch die Beschäftigungsmatrix ac, muß nicht bedarfsgerecht sein. Der größte in ihm enthaltene Vektor, der eine bedarfsgerechte Leistungsstruktur darstellt, wird mit db bezeichnet. db ist dann der größte Vektor einer bedarfsgerechten Leistungsstruktur, der im Vektor d enthalten ist, wenn für alle db_j3 mit j3= 1 bis m3 gilt:

(10)   db_j3 = fg × a × dbn_j3

wobei alle db_j3 £ d_j3 und für mindestens ein j3 gilt db_j3 = d_j3 .

Damit wurde auch gleich der Faktor fg eingeführt. Er stellt den Faktor der gesamtgesellschaftlichen Leistungssteigerung dar, bedingt durch die Beschäftigungsmatrix ac. Er ist der wichtigste Parameter für die Bewertung der Güte der Beschäftigungsmatrix und wird deshalb später auch als Zielfunktion einer Optimierungsrechnung herangezogen.

Zur Bewertung der Bedarfsgerechtigkeit der Arbeitsleistungen können die Faktoren fb_j3 definiert werden durch

(11)   fb_{j3 def}= db_j3 / d_j3

Sie geben demnach für jeden Beruf an, wie groß der bedarfsgerechte Anteil der Arbeit an der im jeweiligen Beruf insgesamt geleisteten Arbeit ist. Angestrebt wird, daß alle fb_j3 den Wert eins annehmen, denn dann wird vollständig bedarfsgerecht gearbeitet.

Aus diesen Faktoren läßt sich der komplexere Faktor fbg angeben, der einen schnellen Überblick über die gesamtgesellschaftliche Bedarfsgerechtigkeit der Arbeitsleistungen gibt.

Wenn fbg=1 ist, dann wird insgesamt bedarfsgerecht gearbeitet. Der Faktor gibt an, welcher Anteil der Arbeiter an der gesamtgesellschaftlich bedarfsgerechten Arbeitsleistungsstruktur db beteiligt ist innerhalb der evtl. nicht bedarfsgerechten Arbeitsleistungsstruktur d.