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1. Motivation

Die numerische Mathematik stellt eine reiche Auswahl zeitloser Lösungs­al­gorithmen und strategien bereit, mit denen ingenieur-technische Probleme gelöst werden können. Dem Anwender fertig programmierter Simulations­verfahren bleiben diese meist verborgen unter der Benutzeroberfläche des jeweiligen Programms.

Durch Anpassen der Algorithmen an die spezielle Problematik kann die numerische Lösung des Problems oft beschleunigt werden. Manchmal wird die Lösung dadurch auch erst möglich. Ihre effektive Implementierung, insbesondere ihre Anpassung an die speziellen Bedingungen des jeweils zu lösenden Problems, erfordern eine vergleichbare Kreativität und Sachkenntnis, wie die Lösung des eigentlichen ingenieur-technischen Problems. Deshalb dürften Erkenntnisse über die Lösungs­methoden für die wissenschaftliche Öffentlichkeit von gleichem Interesse sein, wie die eigentlichen Ergebnisse zum untersuchten Problem.

Für das Gleitlager­berechnungs­programm SIRIUS wurde eine umfangreiche Dokumentation erstellt, die weit über den Umfang einer Bedienanleitung hinausgeht, indem sie auch die mathe­matische Beschreibung des simulierten Objekts, die numerischen Lösungs­verfahren und ihre rechentechnische Umsetzung ausführlich dokumentiert. Diese Dokumentation ist Grundlage der Veröffentlichung. An einigen Beispielen werden die Implementierung und Adaption von Lösungs­algorithmen dargestellt. Es werden einige prinzipielle Vorgehensweisen beschrieben.

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2. Mathematische Beschreibung des technischen Objekts

Das abzubildende technische Objekt ist ein hydro­dynamisch oder hydro­statisch geschmiertes Radial­gleitlager.

Bild 1: Druckverlauf und Schmier­mittel­verteilung in einem hydro­dynamischen und einem hydro­statischen Radial­gleitlager(Animationen links rechts)

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2.1. Die Reynolds'sche Gleichung, ein Spezialfall der Navier-Stokes-Gleichung für die Strömung im Schmier­spal

Die Vorbereitung einer effektiven numerischen Lösung eines Problems beginnt bereits bei der mathematischen Formulierung, indem eine sinnvolle Abstraktion vorgenommen wird, so dass nur die wesentlichen Merkmale des physikalischen Prozesses abgebildet werden und unwesentliche Erscheinungen später nicht mit einem erheblichen Rechenaufwand durch die Berechnung geschleppt werden müssen.

Die Strömung im Schmier­spalt weist durch den engen Schmier­spalt einige spezielle Gegebenheiten auf, die einige für die Berechnung wesentliche Vereinfachungen zulassen. Die Kräfte der Flüssigkeitsreibung übersteigen bei Weitem die Beschleunigungs­kräfte in der Schmier­flüssigkeit. Deshalb kann eine trägheitsfreie Strömung angenommen werden (kriechende Strömung). Außerdem können Strömungs­geschwindigkeiten senkrecht zu den Gleitflächen vernachlässigt werden. Das führt zur Reynolds'schen Differential­gleichung für die Strömung im Schmier­spalt, wie sie bereits von Reynolds [2] und Sommerfeld [3] um 1900 hergeleitet wurde.
Gleichung (1)
Die Reynolds'sche Gleichung der hydro­dynamischen Schmierung ist ein Sonderfall der Navier-Stokes-Gleichung. Bereits über die Spalthöhe integriert reduziert sie die Strömung im 3-dimensionalen Schmier­spalt auf ein zweidimensionales Problem. Sie ist eine partielle lineare Differential­gleichung zweiter Ordnung. Räumlich ist sie ein Rand­wertproblem und über die Zeit ein Anfangs­wertproblem. Das Differenzen­verfahren ist dafür ein bewährtes Lösungs­verfahren.

Bei dieser klassischen Reynolds'schen Gleichung gibt es aber noch ein Problem: Es wird nur die Strömung im Druckberg richtig beschrieben. Das Kavitations­gebiet im Lager wird hier aus der Berechnung ausgeschlossen. Dadurch ist eine korrekte Berechnung der erforderlichen Ölmengen und der Energiebilanz im Lager sowie des Einflusses der Anordnung der Schmier­taschen nur eingeschränkt möglich.

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2.2 Die um Kavitation erweiterte Reynolds'sche Gleichung

In einer Erweiterung der Reynolds'schen Gleichung [4] wird die Schmier­flüssigkeit als ein Zwei-Phasen-Kontinuum dargestellt, bestehend aus einer inkompressiblen, zähen, flüssigen Phase und einer kompressiblen, reibungs­losen, gasförmigen Phase. Damit kann die Strömung im gesamten Schmier­spalt abgebildet werden und so das Problem der Rand­bedingungen gelöst werden.
Gleichung (2)
Sie ist ebenfalls eine partielle, aber nicht lineare Differential­gleichung zweiter Ordnung. Räumlich ist sie ebenfalls ein Rand­wertproblem und über die Zeit ein Anfangs­wertproblem. Als Rand­bedingungen brauchen hier nur noch die Bedingungen am Schmier­spaltrand und an den Rändern von Schmier­taschen angegeben werden, die leicht zu formulieren sind. Die Rand­bedingungen für den Anfang und das Ende des Druckberges entfallen.

Als nicht lineare Differential­gleichung ist sie mit dem Differenzen­verfahren nicht mehr direkt lösbar. Außerdem weist die Funktion des Druckes p(x,z,t) eine Schranke auf, nämlich die Bedingung p>0. Das ist der Anwendung des Differenzen­verfahrens eher hinderlich. Mit entsprechenden Vorkehrungen ist seine Anwendung trotzdem möglich, wie nachfolgend gezeigt werden soll.

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3. Numerische Lösungs­verfahren

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3.1. Die Linearisierung der erweiterten Reynolds'schen Differential­gleichung

Voraussetzung zur Lösung einer nicht linearen Differential­gleichung mit dem Differenzen­verfahren ist ihre Linearisierung. Eine nicht lineare Funktion f(y) kann durch eine linearisierte Näherung in folgender Weise ersetzt werden.
Gleichung (3)
y0 ist dabei eine Anfangs­näherung der gesuchten Lösung y. Die erweiterte Reynolds'sche Differential­gleichung (2) enthält folgende nicht linearen Glieder.
Ausdruck (3a)   und   Ausdruck (3b)
Das erste der beiden Glieder wird gemäß Gleichung (3) in folgender Weise linearisiert.
Gleichung (4)
Auf die Angabe der weiteren Formeln wird hier verzichtet, da diese recht umfangreich und unübersichtlich werden und den Umfang des Artikels sprengen würden. Sie sind vollständig in dimensionsloser Form angegeben in [1, Abs. 3.4.1.3] oder [2, Abs. 7.3]. Damit erhält die erweiterte Reynolds'sche Differential­gleichung die lineare Form.
Gleichung (5)
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3.2. Das Differenzen­verfahren, ein universelles Lösungs­verfahren für lineare Probleme und seine Adaption an ein nicht lineares Problem

Das Differenzen­verfahren ist kein Lösungs­algorithmus im engeren Sinne, sondern eher ein Lösungs­prinzip. Es beruht darauf, dass ein Kontinuum durch Punkte auf einem Gitternetz diskretisiert wird. Nur für diese Gitterpunkte wird eine Näherungs­lösung der Differential­gleichung berechnet.

Bild 2: Diskretisierung der Schmier­spaltfläche in NX·NZ Flächenelemente

Um diese Aufgabe zu lösen werden die partiellen Ableitungen (Differential­quotienten) durch Differenzen­quotienten ersetzt [7]. Daher der Name Differenzen­verfahren. Die 1. und 2. Ableitung der Funktion p(x) an der Stelle x wird z.B. bei äquidistanter Schrittweite des Gitternetzes gemäß Bild 3 durch die Differenzen­formeln (6) und (7) ersetzt.

Bild 3: Approximation des Teilstücks der Funktion P(X)


Gleichung (6)
Gleichung (7)
Damit wird die lineare Differential­gleichung zu einer linearen Differenzen­gleichung.

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3.3. Aufstellen des Gleichungs­systems

Nun kann für jeden Punkt des Gitternetzes eine Gleichung aufgestellt werden und es entsteht ein lineares Gleichungs­system zur Berechnung der Druckverteilung über die Schmier­spaltfläche. Für die klassische Reynolds'sche Differential­gleichung liefert das einmalige Lösen des Gleichungs­systems die endgültige Lösung. Für die erweiterte Reynolds-Gleichung muss zur iterativen Berechnung die Lösung des Gleichungs­systems mehrfach durchlaufen werden. Die Erfahrung hat gezeigt, dass dazu in der Regel zwei Iterations­zyklen reichen.

Bild 4 zeigt für ein sehr grobes Gitternetz mit nur 23 Stützstellen im Schmier­spalt die Koeffi­zientenmatrix und in der rechten Spalte die rechten Seiten eines solchen Gleichungs­systems. Nach den ersten 23 Gleichungen für die Berechnung des Schmier­filmdruckes, die das Differenzen­verfahren repräsentieren, sind noch weitere Gleichungen hinzugefügt. Diese resultieren aus der mathematischen Abbildung eines peripheren Schmier­systems, das insbesondere für hydro­statische Lager erforderlich ist.

Bild 4: Koeffizienten­matrix und rechte Seiten eines Gleichungs­systems [1, Abs.3.4.4]

Bild 5 skizziert z.B. ein peripheres Schmier­system, welches alle Elemente enthält, die mit dem Programm SIRIUS abgebildet werden können. Für jede Schmier­tasche im Lager ist eine weitere Gleichung erforderlich, die die Volumenbilanz der Schmier­tasche abbildet. Für jede Verbindungs­leitung ist eine weitere Gleichung erforderlich, die den Zusammenhang zwischen dem Druckgefälle in der Leitung und dem Volumenstrom durch die Leitung abbildet. Falls die entsprechende Gleichung, z.B. bei einer Spaltdrossel nicht linear ist, ist diese ebenfalls zu linearisieren und wird parallel zur iterativen Schmier­film­druck­berechnung gelöst. Für jede Schmier­mittel­pumpe sind noch zwei weitere Gleichungen erforderlich.

Bild 5: Prinzipskizze einer möglichen Variante des peripheren Universal-Schmier­systems

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3.4. Das Gauß'sche Eliminations­verfahren ein Klassiker der numerischen Mathematik

Das Gauß'sche Eliminations­verfahren oder auch Gauß-Verfahren genannt ist ein klassisches Beispiel der zeitlosen Algorithmen. Es hat eine Schlüsselposition in der Lösung von linearen Gleichungs­systemen, denn es stellt keine weiteren Anforderungen an das zu lösende Gleichungs­system, als die Forderung einer regulären Koeffizienten­matrix. Damit ist gewährleistet, dass es nur eine eindeutige Lösung gibt. Es stammt aus einer Zeit, als an elektronische Rechentechnik noch nicht zu denken war. Mit kleinen Verbesserungen, nämlich der Einführung der Pivotisierung, hat es in der modernen Rechentechnik weiterhin eine zentrale Bedeutung.

Es ist ein direkter Gleichungs­löser. Das Lösungs­prinzip beruht auf der Umwandlung der quadra­tischen Koeffizienten­matrix A des ursprünglichen Gleichungs­systems in eine Dreiecksmatrix A', ohne dass sich der Lösungs­vektor X verändert. Das modifizierte Gleichungs­system kann dann einfach rekursiv gelöst werden, beginnend mit der letzten Gleichung. Bild 6 skizziert ein ursprüngliches und ein modifiziertes Gleichungs­system in Matrizenschreibweise.



Bild 6: Modifizierung eines linearen Gleichungs­systems mit dem Gaußschen Eliminations­verfahren

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3.5. Vom Gauß-Algorithmus zum modernen GMRES-Verfahren

In älteren Versionen des Programms SIRIUS wurde das Gauß-Verfahren erfolgreich eingesetzt. Dieses Verfahren hat aber die Eigenschaft, dass sich bei jeder Verdopplung der Anzahl der Unbekannten die Anzahl der erforderlichen Lösungs­operationen mit dem Faktor 23=8 erhöht. Damit wird bei größeren Gitternetzen das Warten auf ein Ergebnis recht langweilig, weil dieser exponentielle Anstieg der Rechenzeit auf Dauer auch nicht durch schnellere Computer aufgefangen werden kann.

Mit der flächendeckenden Verbreitung der Rechentechnik wurde verstärkt in den 1960-iger und 1970-iger Jahren nach schnelleren Lösungs­verfahren gesucht, so dass heute eine Palette von wesentlich schnelleren Gleichungs­lösern zur Verfügung steht. Bei der Lösung ingenieur-technischer Probleme sind die Koeffizienten­matrizen oft nur dünn besetzt, d.h. die meisten Koeffizienten sind Null, wie bereits die Matrix im Bild 4 zeigt. Das machen sich eine Reihe von Verfahren zu nutze. Es werden aber auch andere Merkmale zur Reduktion der Anzahl erforderlicher Lösungs­operationen ausgenutzt. Es ist deshalb erforderlich zur Aufgabe das passende Lösungs­verfahren auszuwählen. Die meisten dieser Verfahren sind Iterations­verfahren, die mehrfach durchlaufen werden müssen, aber bei großen Koeffizienten­matrizen trotzdem wesentlich schneller rechnen. Einen guten Überblick über die gängigen Verfahren gibt Meister [6] oder die Internet-Plattform "Wikipedia".

Für das Gleichungs­systems zur Lösung der Reynolds'schen Gleichung mit dem Differenzen­verfahren einschließlich der Gleichungen des peripheren Schmier­systems erschien das GMRES-Verfahren (Generalized minimal residual method) geeignet und wurde in das Programm SIRIUS implementiert. Es wird als Näherungs­verfahren verwendet und arbeitet erst richtig schnell in Kombination mit einem Vorkonditionierer. Als Vorkonditionierung wird die ILU-Zerlegung (incomplete Lower-Upper-Decomposition) verwendet. Bei einer Anzahl von ca. 10 000 Unbekannten wurde damit gegenüber dem Gauß-Verfahren eine Beschleunigung um den Faktor 1000 erreicht. Ein wesentlicher Vorteil dieses Verfahrens besteht darin, dass die Rechenzeit nur etwa proportional mit der Anzahl der Unbekannten steigt.

Ein weiterer Vorteil ist, dass das Verfahren mit einer "gepackten Matrix" arbeitet, in der nur die Nicht-Null-Koeffizienten abgespeichert sind. Wenn man das Programm so schreibt, dass die "gepackte Matrix" direkt erzeugt wird, was allerdings ziemlich anspruchsvolle Programmierung ist, wird erheblich Speicherplatz gespart. Bild 7 zeigt die Koeffizienten­matrix aus Bild 4 in gepackter Form.



Bild 7: "Gepackte Koeffizienten­matrix" und rechte Seiten eines Gleichungs­systems

Die Koeffizienten­matrix wird hier ersetzt durch 4 Vektoren, die nur die Werte der Nicht-Null-Koeffizienten und ihre Stellung in der ursprünglichen Matrix angeben. [1, Abs. 3.4.4]

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3.6. Die Berechnung der Wellenverlagerung durch ein 2·2-dimensionales Newton'sches Näherungs­verfahren und seine Lösung mit einem geometrischen Lösungs­ansatz

Mit Hilfe der Reynolds'schen Differential­gleichung kann aus einer vorgegebenen Spaltgeometrie der Druckverlauf im Schmier­spalt berechnet werden und durch Integration der Schmier­spaltdrücke der resultierende Vektor der Lagerbelastung [F1,F2]. In der Praxis ist die Problemstellung aber umgekehrt. Infolge des Vektors der Lagerbelastung [F1,F2] verlagert sich die Welle innerhalb des Lagerspielraums, bis der dadurch entstehende Schmier­filmdruck mit der Lagerbelastung im Gleichgewicht steht. Es ist also der Vektor der Wellenverlagerung [E1,E2] zu ermitteln.

Bild 8: Komponenten der Lagerbelastung und der Exzentrizität im Lager

Formal kann man den Zusammenhang zwischen den Komponenten der Lagerbelastung F1 und F2 und der Spaltgeometrie E1 und E2 als die Funktionen func1 und func2 formulieren.
Gleichung (8)

Gleichung (9)
Damit ist ein nicht lineares Gleichungs­system mit 2 Gleichungen und den 2 Unbekannten E1 und E2 zu lösen. Jeder Punkt der 2 Funktionen bedeutet die komplette Berechnung einer Druckverteilung im Schmier­spalt. In der Umgebung um eine vorhandene Näherungs­lösung kann man die beiden Funktionen durch zwei tangentiale Ebenen 1 und 2 approximieren (Bild 9, linke Skizze).

Bild 9: Grafische Darstellung der Ermittlung eines Wellenverlagerungs­punktes [E1,E2]

Gemäß Bild 9, rechte Skizze lässt sich ein Iterations­schritt der Lösung des Gleichungs­systems grafisch darstellen. Es ist der Schnittpunkt der Projektionen der Schnittlinien S1 und S2 auf die Koordinatenebenen E1-E2. Daraus lassen sich dann leicht die Berechnungs­formeln herleiten. Sie sind vollständig angegeben in [5, Abs. 4.1.3] und [1, Abs. 3.4.7.3].

Wird diese Berechnung mehrfach wiederholt, indem der berechnete Schnittpunkt als Basispunkt der nächsten Iteration verwendet wird, konvergiert die Iteration zur Lösung des nicht linearen Gleichungs­systems.

Dieses Verfahren stellt ein erweitertes Newton'sches Näherungs­verfahren dar, wie es in Bild 10 vereinfacht als eindimensionales Problem skizziert ist [7]. Es ist ein Standardverfahren, welches lange Zeit vor der elektronischen Rechentechnik entwickelt wurde.

Bild 10: Newton'sches Näherungs­verfahren

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4. Schlussbemerkungen

Maschinenbau-Ingenieure sind nicht nur Nutzer von Berechnungs­programmen, sondern notwendiger Weise beteiligt an ihrer Erzeugung. Sie müssen bzw. können:
1. die technischen Probleme mathematisch formulieren,
2. kompetente Gesprächspartner der Mathematiker und Informatiker sein,
3. aus ihrer Kenntnis des technischen Objekts zu kreativen Lösungs­ansätzen beitragen,
4. evtl. die numerischen Probleme eigenständig lösen und programmieren.

Deshalb ist es notwendig, dass auch sie grundlegende Kenntnisse über diese zeitlosen mathematischen Lösungs­algorithmen besitzen, zumal diese universell anwendbar sind. Im Rahmen des Vortrags konnten nur des prinzipielle Vorgehen beschrieben werden. Wesentlich ausführlicher und mit Angabe aller erforderlichen Formeln wird das in der Dokumentation zum Programm SIRIUS [1] dargestellt.

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